Základní principy speciální teorie relativity

Pro klasické počítání rovnic ke příkladům, které se odehrávají na Zemi a v relativně malých rychlostech používáme principy tzv. Galileiho transformace. Vůči této transformaci souřadnic v klasické fyzice zůstávají totiž zachovány Newtonovy pohybové rovnice.

Jde o to, že každá událost U je určena třemi souřadnicemi polohy a časem t.

U = [x,y,z,t] ? událost v soustavě S
U = [x˘,y˘,z˘,t˘] ? událost v soustavě S˘
S = [x,y,z,t]
S˘= [x,y,z,t]

Galileiho transformace

Vzhledem k tomu, že Galileiho transformace evidentně nevyhovuje příkladům s rychlostí blížící se rychlosti světla, dá se tato transformace použít pouze pro relativně malé rychlosti a vzdálenosti.

Pro všechny tyto realtivně malé rychlosti tj. v << c Ţ v/c ? 0 platí mechanický ? Galileiho princip relativity a Galieliho transformace:
Platí-li mechanické zákony v soustavě S, pak platí v každé jiné soustavě S˘, která se vzhledem k S pohybuje rovnoměrně a přímočaře.

Pro rychlosti, blížící se rychlosti světla ( v?c ) však platí Einsteinovy postuláty1 a Lorentzova transformace.

1. Einsteinův postulát
Všechny inerciální soustavy jsou pro popis fyzikálních dějů rovnocenné, z čehož vyplývá, že žádnými fyzikálními pokusy nelze uvnitř soustavy zjistit, zda-li se daná soustava pohybuje, nebo zda-li je v klidu.
To v podstatě znamená, že neexistuje univerzální vztažná soustava, vše závisí na soustavě ve které děj pozorujeme a kalkulujeme s ním.

2. Einsteinův postulát
Ve všech inerciálních soustavách má rychlost světla c? ve vakuu tutéž velikost, a to ve všech směrech a nezávisle na vzájemném pohybu světelného zdroje a pozorovatele. (experimentální potvrzení je dáno Michelsonovým (nečti jako [Majšlsen]) pokusem). V praxi to znamená, že rychlost světla zářícího z policejního majáku na policejním autě jedoucím rychlostí v = 180 km.h-1 , bude stejně velká jako rychlost světla vyzařovaného z neonové reklamy na noční podnik okolo které to auto pojede. v se prostě nepřičítá! Dá se řící, že c je vesmírná mezní rychlost.

Pro všechny rychlosti, které nejsou bezvýznamně malé vůči rychlosti světla a všechny vzdálenosti, které mají vesmírné měřítko se tedy používá Lorentzova transformace:

Lorentzova transformace

Pokud si rozebereme vzorec:
x˘ + vt
x = Ö (1- v2/c2)

a zaměříme se na část v2/c2 je z něj patrno, že čím menší je v, oproti c, tím více se hodnota tohoto zlomku přibližuje nule. Čím více se hodnota zlomku přibližuje nule, tím více se hodnota jmenovatele přibližuje jedničce, takže se vzorec redukuje na x = x˘ + vt. No, a to je normální vzorec pro Galileiho transformaci.

Při počítání s Lorentzovou transformací (při rychlostech blížících se rychlosti světla) dochází ke kinematickým důsledkům, které jsou jen těžko logicky pochopitelné. Jsou to:

a) Relativnost současnosti
jestliže t1 = t2 (události proběhly ve stejném čase v soustave S) a přitom x1 ą x2 (události nejsou soumístné), pak pro časový interval Dt˘ = t2˘ – t1˘ platí vztah podle Lorentzovy transformace:

v . (x2 ?x1)
Dt˘ = –
c2 . Ö (1- v2/c2)
Události v soustavě S˘ tedy současné nejsou.

b) Dilatace času
Čas a prostor nejsou absolutní a nezávislé, ale proměnlivé a vzájemně propojené, jek Einstein dokázal ve své speciální teorii relativity. Vzájemná provázanost prostoru a času způsobuje, že čím rychleji se pozorovatel pohybuje vesmírem, tím pomaleji vnímá tok času.
Předpokládejme, že ve vesmíru jsou dva body vzdálené 8 064 000 km od sebe. Pokud se bude vesmírná loď pohybovat rychlostí 225 000 km.s-1 , což je 75% rychlosti světla, urazí tuto vzdálenost za 1 hodinu. A skutečně, při míjení druhého bodu, na kterém jsou umístěny také hodiny (sesynchronizované) je vidět, že let trval 1 hodinu. Hodiny na palubě kosmické lodi, však ukazují pouze 40 minut.
Rychlost pohybu lodi tedy dilatovala, neboli natáhla čas. Hodiny v pohybující se lodi jdou tedy pomaleji, než hodiny stacionární., a čím rychleji letí kosmická loď, tím pomaleji jdou hodiny.
důkaz:
Dosadíme do vzorce podle Lorentzovy transformace:
t˘ + v/c2*x
t =
Ö (1- v2/c2)

t˘+225000/3000002*8064000
3600 =
Ö(1-2250002/3000002)

Za dobu t , dosadíme dobu naměřenou stacionárními (na jednom místě upevněnými) hodinami, což je 1 hodina (3600s). t˘ pak bude čas, který uběhne pro posádku loďi.

3600*Ö(1-2250002/3000002)= t˘+225000/3000002*8064000
Ţ
3600*Ö(1-2250002/3000002)- 225000/3000002*8064000= t˘
Ţ
3600*0,6614378278-20,16= t˘
Ţ
2381,17618-20,16= t˘
Ţ
2361,01618=t˘

Vzhledem k tomu, že dobu t, jsme dosadili v sekundách, tak doba t˘, nám vyjde také v sekundách. Pro převod na minuty, ji stačí vydělit 60. t˘ se tedy rovná 39,35026967 min.

s s = 8 064 000

0:00 0:00 1:00 1:00 = kosmická loď

0:00 0:40
fig 1. fig 2.

c) Kontrakce délek

Při rychlostech blížících se rychlosti světla, dochází ke zkracování délky, takto se pohybujícího objektu, ve směru zrychlení. Platí vzorec podle Lorentzovy transformace:

l = l˘0 * Ö(1-v2/c2)

kde l˘0 je délka x˘2 – x˘1.v soustavě S˘ za předpokladu současného měření souřadnic koncových bodů. l je délka x2 – x1 v soustavě S. Kontrakci délky, lze pozorovat jen u rozměrů ve směru pohybu, ostatní rozměry zůstanou nezměněny.

________________________________________________________________________________________________
příklad:
Vypočtěte velikost metrové tyče, při rychlosti 1000 km*s-1 (je to zhruba 0,33% rychlosti světla. ).

S˘ : l˘0 = x˘2 – x˘1
S : l = x2 – x1

x2 x1
S˘ : l = –
Ö (1-v2/c2) Ö (1-v2/c2)

Protože rychlost v , je blízká rychlosti světla, je opět nutno použít vzorce vycházejícího z Lorentzovy transformace.

Existuje vzorec: l˘0 / l = Ö (1-v2/c2) , kde l˘0 je délka tyče měřená při dané rychlosti a l je délka tyče měřená v klidu.

l˘0 / l = Ö (1- 10002/3000002)
l˘0 / l = 0,9999944444

Původně metrová tyč tedy bude mít v této rychlosti délku 0,9999944444 m.
Takový je tedy poměr kontraktované délky vůči délce měřené v klidu (či při rychlosti tyče v<<c). Čím=““ větší=““ bude=““ tedy=““ rychlost,=““ kterou=““ se=““ tyč=““ pohybovat,=““ tím=““ kratší.=““ <br=““>________________________________________________________________________________________________

d) Relativistické skládání rovnoběžných sil

Z hlediska klasické mechaniky víme, že u = u˘ + v a u˘ = u – v , přičemž u je vektor rychlosti v soustavě S a u˘ je vektor rychlosti v v soustavě S˘.
Při relativistickém počítání, ale musíme počítat s Lorentzovou transformací a proto:

u + v u˘ = u – v
1 + u˘ v a 1 – uv
1 c2 1 c2

e) Relativistická dynamika
Relativistická je hmotnost, hybnost a kinetická energie. Pri pocitání s temito velicinami je nutné prevést jejich vzorce podle Lorentzovy transformace:
Prvním prípadem je hmotnost. S narustající rychlostí, totiz roste také hmotnost.

zatímco v klasické dynamice je m, tak jak ho změříme, neboli m=p/v.
Přirozeně, že při v<
Dalším pripadem je vzorec pro vypocet hybnosti. Zatimco podle Galileiho transformace, je grafem nárustu hybnosti lini prime umernosti (p=m*v), podle Lorentzovy transformace je to parabola.

Kinetická energie:
= =

_____________________________________________________________________________
Onlouvám se za to, ale nemůžu si odpustit sem dát jeden malej příkladek, abyste věděli, o co jde.

priklad:
Jakou rychlosti se musi pohybovat raketa v soustave S‘ ve smeru osy x=x‘, aby se tyc polozena rovnobezne s osou x jevila v pozorovateli v soustave S o polovinu kratsi?
reseni:

takze:
/()^2
/c^2
/Ö /2

odpoved:
Raketa se bude pohybovat rychlostí 2,589*108 m*s-1. _____________________________________________________________________________

1.)
axiom [řečtina], postulát – přijatý předpoklad;
je výchozí tvrzení (věta, která byla bez důkazu přijata jako základ axiomaticky budované teorie). Pomocí předem stanovených pravidel odvozování umožňujících přechod od jedněch vět ke druhým a zavádění nových pojmů (termínů) do teorie, lze z axiomů odvodit všechna ostatní tvrzení (teorémy) teorie. Od antiky zdůvodňován evidencí, dnes vymezen pouze požadavkem bezespornosti, nezávislosti a úplnosti axiomatického systému.