Mechanické vlnění

Vlnění je jedním z nejrozšířenějších fyzikálních jevů. Má podobu zvuku, světla, rozhlasového či televizního vysílání atd.

Mechanické vlnění je děj, při němž se kmitání šíří látkovým prostředím. Šíření vln není spojeno s přenosem látky (vlny na rybníku loďku z kůry neposunou). Vlněním se však přenáší energie.

Postupné mechanické vlnění
Vzniká v látkách všech skupenství, jeho příčinou je existence vazebných sil mezi částicemi (atomy, molekuly) prostředí, kterým se vlnění šíří.
Pružné prostředí ? prostředí kde se kmitání jedné částice přenáší vzájemnou vazbou na další částici. Současně se na částici přenáší energie kmitavého pohybu.
Přenosem kmitání mezi částicemi pružného vlnění se přenáší vlna. Jestliže hmotný bod, který je zdrojem vlnění kmitá harmonicky, vzniká mechanická vlna sinusového průběhu.

Kmitání konstantní rychlostí v postupuje ve směru osy x. Vzniká postupné vlnění příčné a rychlost v je rychlost postupného vlnění.
Vlnová délka l- vzdálenost, do níž se vlnění rozšíří za periodu T kmitání zdroje vlnění.

l = vT =

Vlnová délka je vzdálenost dvou nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází.

Rozlišujeme dva základní typy postupného mechanického vlnění:
1. Postupné vlnění příčné, kdy body pružného prostředí kmitají kolmo na směr, kterým vlnění postupuje. Je charakteristické pro pružná pevná tělesa ve tvaru tyčí, vláken apod. Pozorujeme ho také na vodní hladině.
2. Postupné vlnění podélné, při němž částice pružného vlnění kmitají ve směru, kterým vlnění postupuje. Vzniká v tělesech všech skupenství, tedy i v kapalinách a plynech, která jsou pružná při změně objemu(stlačování, rozpínání). Postupným vlněním podélným se v látkách šíří např. zvuk.

Rychlost mechanického vlnění závisí na vlastnostech pružného prostředí a je různá pro vlnění příčné a podélné.

Rovnice postupného vlnění
Postupné mechanické vlnění popisujeme vztahem, který umožňuje určit okamžitou výchylku v každém bodě řady, kterou se vlnění šíří. Tato výchylka závisí na čase t a také na vzdálenosti x od zdroje vlnění.
rovnice postupné vlny:
y = ymsin2p
Rovnice platí pro příčné i podélné harmonické vlnění v homogenním prostředí.(V daném prostředí mají však tato vlnění různou rychlost).
Veličina je fáze vlnění. Kdyby vlnění postupovalo záporným směrem vzhledem k ose x (vlevo od zdroje vlnění), bylo by ve výrazu pro fázi znaménko +.

Všechny veličiny popisující vlnění jsou jak funkcemi času, tak funkcemi polohy(souřadnice) bodu, kterým vlnění prochází.

Interference vlnění
Pružným prostředím se šíří vlnění ze dvou, nebo více zdrojů. Jednotlivá vlnění postupují vlněním nezávisle. V místech kde se setkávají dochází k jejich skládání ? interferenci vlnění.
Interference vlnění se projevuje tak, že výsledný kmitavý pohyb hmotných bodů prostředí je určen superpozicí kmitání vyvolaných vlněním.
Máme dva zdroje vlnění , mají různou polohu, ale kmitají se stejnou fází. Vzhledem k bodu M popíšeme složky vlnění rovnicemi: y1 = ym sin 2p a y2 = ym sin 2p

O výsledku interference těchto dvou vlnění rozhoduje fázový rozdíl vlnění Dj. Určíme ho jako rozdíl fází obou vlnění v určitém okamžiku:
Dj = – = =
Výraz d = (x2 ? x1) je dráhový rozdíl vlnění. Je to vzdálenost dvou bodů, v nichž mají obě vlnění stejnou fázi. Fázový rozdíl vlnění je přímo úměrný dráhovému rozdílu vlnění.

Zvláštní případy interference vlnění nastávají, když je dráhový rozdíl roven celistvému počtu půlvln interferujících vlnění:
1. Sudý počet půlvln: d = 2k = kl, kde k = 0, 1, 2, ? Interferující vlnění se setkávají v každém bodě se stejnou fází a vzniká vlnění, jehož výsledná amplituda výchylky je rovna součtu amplitud výchylek složek: ym = ym1 + ym2. Vzniká Interferenční maximum.
2. Lichý počet půlvln: d = (2k + 1) , kde k = 0, 1, 2, ? Interferující vlnění se setkávají s s opačnou fází a amplituda výchylky výsledného vlnění je rovna absolutní hodnotě rozdílu složek: : ym = |ym1 – ym2|. Vzniká interferenční minimum. Při stejné amplitudě výchylek se vlnění navzájem ruší.

Interferencí dvou stejných vlnění vzniká výsledné vlnění, jehož amplituda je největší v místech, v nichž se vlnění setkávají se stejnou fází, a nejmenší (popř. nulová) je v místech, v nichž se vlnění setkávají s opačnou fází.

Stojaté vlnění
Dvě vlnění o stejné amplitudě výchylky a stejné frekvenci postupují pružným prostředím v opačném směru, tedy proti sobě. K tomu dochází např. při šíření v omezeném prostoru. V bodě, kde se setkají bude kmitání harmonické s amplitudou výchylky Ym=2ym. Obdobně přirozeně kmitají další body ve vzdálenostech ? k*l/2.
Tomu se říká stojaté vlnění.
Nebo vlnění postupuje, až k okraji prostředí, tam se odrazí a postupuje zpátky v opačném směru. Přímé a odražené vlnění se skládají a vzniká stojaté vlnění.
Vznik stojatého vlnění skládáním přímého a odraženého vlnění – Superpozice začíná v čase T = 0, kdy se obě vlnění setkají v bodě O a je zakreslena pro časové intervaly T/4. Vidíme. že bod O a také další body vzdálené od něho o celistvé násobky poloviny vlnové délky kmitají s největší amplitudou výchylky. V těchto bodech vzniká kmitna stojatého vlnění. Body které zůstávají ve všech fázích periody stále v klidu jsou uzly stojatého vlnění. Uzly jsou ve vzájemné vzdálenosti 0.5l. Poloha kmiten a uzlů stojatého vlnění se nemění. Kmitna je ve vzdálenosti 0.25l od uzlu.

Mezi postupným a stojatým vlněním jsou zásadní rozdíly:
1. Při postupném vlnění kmitají všechny body se stejnou amplitudou výchylky, ale s různou, na čase závislou fází. Každý následující bod dosahuje stejné výchylky později než bod předcházející. Fáze vlnění se šíří rychlostí v, kterou také označujeme fázová rychlost. Postupným vlněním se přenáší energie.
2. Při stojatém vlnění kmitají všechny body mezi dvěma uzly se stejnou fází, ale s různou amplitudou výchylky, která závisí na poloze bodu. Nepřenáší se energie, pouze se periodicky mění pot. energie pružnosti v kinetickou energii hmotných bodů.

I stojaté vlnění může být podélné, nebo příčné. Příčné ? stojaté vlnění struny. Podélné ? stojaté vlnění vzduchového sloupce v duté části dechového nástroje.

Chvění mechanických soustav
odraz vlnění: Na konci řady bodů, kterou se šíří postupné vlnění, nastává odraz vlnění. Na pevném konci se
vlnění odráží s opačnou fází a na volném se stejnou fází.

Na obrázcích (které nemám) jsou příklady chvění pružné tyče. Může se chvět jako ležatá osmička, nebo jako ležatá osmička se třemi bříšky a nebo jako spojené dva oblouky (švihadlo). V bodech, kde je tyč upevněna, vzniká uzel stojatého vlnění. Vzniklé stojaté vlny musí vždy splňovat podmínku:

l = , kde k=0, 1, 2, ?

Tato stojatá vlnění vznikají při frekvencích
fk = kfz
kde fz je základní frekvence:

fz = =

Frekvence, při nichž k>1, nazýváme vyšší harmonické frekvence.
Chvění je charakteristické zejména pro zdroje vzduchu.
Chladniho obrazce ? máme desku upevněnou uprostřed, posypeme ji jemným pískem a pak její okraj rozkmitáme pomocí smyčce. Vzniká chvění => zrnka se shromáždí v uzlech chvění => Chladniho obrazec
Vypadá to jako hvězdice.
=> využívá se při konstrukci elektroakustických zařízení (membrány reproduktorů, sluchátek, mikrofonů ?.)

Vlnění v izotropním prostředí
Izotropní prostředí ? takové látkové prostředí, které má ve všech směrech stejné fyzikální vlastnosti.
Jestliže je v takovém prostředí zdroj mechanického vlnění, šíří se vlnění ve všech směrech stejně velkou rychlostí v. Body ležící na povrchu koule o poloměru r = vt (t je čas, za který vlnění dospěje ze zdroje k uvažovanému bodu na povrchu koule.), kmitají se stejnou fází a tvoří vlnoplochu.
Směr šíření vlnění v daném bodě vlnoplochy určuje kolmice k vlnoploše, která se nazývá paprsek.
Rovinná vlnoplocha ? zdroj vlnění je rovinný, nebo je ve velké vzdálenosti, paprsky jsou navzájem rovnoběžné.

Vlnoplocha postupného vlnění je plocha, jejíž body kmitají se stejnou fází.

Huygensův princip:
Každý bod vlnoplochy, do něhož dospělo vlnění v určitém okamžiku, můžeme pokládat za zdroj elementárního vlnění, které se z něho šíří v elementárních vlnoplochách. Vlnoplocha v dalším časovém okamžiku je vnější obalová plocha všech elementárních vlnoploch.

odraz a lom vlnění
Jestliže vlnění dopěje k rozměrné překážce, popř. na rozhraní mezi dvěma prostředími, v nichž se vlnění šíří různou rychlostí, pak se od překážky vlnění odráží, nebo rozhraním dvou prostředí prochází.
Pro odraz mechanického vlnění platí zákon odrazu:

Úhel odrazu a´ vlnění se rovná úhlu dopadu a, Odražený paprsek leží v rovině dopadu.

Lom vlnění se projevuje změnou směru, kterým se vlnění po průchodu dvou rozhraní šíří. Rychlost v prvním prostředí je v1 a v druhém v2.

= =n
a – úhel dopadu, b – úhel odrazu
Platí zákon lomu vlnění:

Poměr sinu úhlu dopadu k sinu úhlu lomu je pro dané dvě prostředí stálá veličina a rovná se poměru rychlostí vlnění v obou prostředích. Nazývá se index lomu vlnění n pro daná prostředí. Lomený paprsek zůstává v rovině dopadu.

Ohyb vlnění
Vlnění dopadá na překážku malých rozměrů. Pozorujeme, že vlnění dospělo i za překážku => nastává ohyb vlnění, nebili difrakce.
Ohyb vlnění nastává i v případě, že je v překážce velkých rozměrů malý otvor. Za překážkou se vlnění šíří všemi směry(nastal ohyb vlnění a to se odchyluje od svého původního směru).
Ohyb vlnění vysvětlujeme pomocí Huygensova principu ? Každý bod vlnoplochy, která dospěla k překážce je zdrojem elementárního vlnění, které se šíří všemi směry, tedy i do prostoru za překážku. Tam tato vlnění navzájem interferují a dochází ke zvětšení/zmenšení amplitudy výsledného vlnění v jednotlivých bodech => to se projevuje jako ohyb vlnění.
Ohyb souvisí s rozměrem překážky a s vlnovou délkou vlnění, které na ní dopadá. Čím větší je vlnová délka, tím je ohyb výraznější (světlo ? stín za překážkou a zvuk ? je slyšet).
Směr vlnění vyznačujeme přímkou – vektorem (paprskem) ? předpokládáme přímočaré šíření vlnění.

Směr šíření vlnění je ovlivněn ohybem vlnění na překážkách. Tento vliv je však tím menší, čím menší je vlnová délka vlnění.

Zvukové vlnění
Zvukem nazýváme každé mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem ? rezonanci membrány ušního bubínku

akustika ? zabývá se fyzikálními ději, které jsou spojeny se vznikem zvukového vlnění, jeho šířením a vnímáním zvuku sluchem
Zvuk člověku zprostředkovává informace o okolním světě. Celý děj přenosu informace má tři části:
1. zdroj zvuku
2. prostředí, kterým se zvuk šíří
3. přijímač zvuku, kterým je v nejjednodušším případě lidské ucho

Zdroje zvuku
Zvuk ? mechanické vlnění, které vnímáme sluchem.
Zdrojem je chvění pružných těles ? přenáší se do okolního prostředí a vzbuzuje v něm zvukové vlnění.

Frekvence zvuku ? 16 Hz ? 16000 Hz(16 kHz)
infrazvuku ? menší než 16 Hz
ultrazvuku – větší než 16kHz

Periodické zvuky nazýváme hudební zvuky, nebo tóny.
Jestliže má zvuk harmonický průběh, je to jednoduchý tón.
Periodické zvuky složitějšího průběhu označujeme jako složené tóny.

Mezi hudební zvuky patří zvuky hud. nástrojů, nebo samohlásky řeči. Zvuk samohlásek je periodický, ale ne harmonický. Podobně i zvuky hud. nástrojů mají složitý průběh, což dokážeme rozlišit => rozpoznávání hlasů, nástrojů ?
Neperiodické zvuky vnímáme jako hluk(praskot, bušení, skřípání). Neperiodický průběh mají také souhlásky. Zvláštním případem je šum ? vzniká nahodilými neperiodickými změnami tlaku v prostředí, kterým se zvuk šíří.
Šum v lese ? nepravidelný pohyb listí stromů.

Šíření zvuku
Ze zdroje se zvuk šíří jen pružným látkovým prostředím libovolného prostředí, nejčastěji vzduchem..
Nejdůležitější charakteristikou šíření zvuku je rychlost zvuku. Ta závisí na složení prostředí, kterým prochází (nečistoty, vlhkost) a nejvíce na jeho teplotě. Ve vzduchu o teplotě t v °C má vzduch rychlost

vt = (331,82 + 0.61{t}) m×s-1

Rychlost zvuku není ovlivněna tlakem vzduchu a je stejná pro zvuková vlnění všech frekvencí.

V kapalinách a pevných látkách je rychlost zvuku větší, než ve vzduchu (tabulka).

Šíření zvuku je ovlivněno i překážkami, projevuje se odraz i ohyb zvukového vlnění.
Ozvěna ? zvláštní případ odrazu zvuku od rozlehlé překážky(skalní stěna, velká budova)
Sluch rozliší dva po sobě následující zvuky, pokud mezi nimi uplyne doba alespoň 0.1s.
To je doba k vyslovení jedné slabiky, zvuk urazí 34m(17m od zdroje k překážce a 17m zpět).
Při vzdálenosti 17m od překážky vzniká jednoslabičná ozvěna. Při větší vzdálenosti ozvěny víceslabičné.
Dozvuk ? při vzdálenosti menší než 1m, zvuky splývají, to se projeví prodlouženým trváním zvuku.

Se šířením zvuku se musí počítat při stavbě velkých místností, koncertních sálů ?.

Vlastnosti zvuku
Rozhodují o kvalitě zvukového vjemu.
Zvuk charakterizují:
1. výška zvuku
2. barva zvuku
3. hlasitost

Výška zvuku je určena jeho frekvencí. U jednoduchých tónů s harmonickým průběhem určuje frekvence absolutní výšku tónu.

Absolutní výšku lze měřit přístroji pro měření zvuk. frekvencí. Sluchem ji však nedokážeme určit, určujeme relativní výšku tónu.
Relativní výška je určena podílem frekvence daného tónu k frekvenci vhodně zvoleného, tzv. referenčního tónu. V hudební akustice je to tón o frekvenci 440 Hz(hud. označení a1). v hud. praxi se často jako referenční tón používá tón o frekvenci 1 kHz.
Složené tóny jsou výsledkem superpozice základního tónu a vyšších harmonických tónů. Obsah vyšších harm. tónu způsobuje , že tón má pro naše ucho zcela charakteristický zvuk. Tato vlastnost zvuků se označuje jako barva tónu. Ta je určena počtem vyšších harm. tónů a jejich amplitudami. Barva tónu umožňuje rozlišit dva složené tóny stejné absolutní výšky, které vydávají např. dva různé nástroje.

Hlasitost a intenzita zvuku
Intenzita zvuku ? definována vztahem

I =
P ? výkon zvukového vlnění. S ? obsah plochy, kterou vlnění prochází. Jednotkou intenzity je W×m-2 (výkon ? Watt).
Intenzita zvuku je přímo úměrná energii kmitání, které zvukové vlnění v daném bodě vzbuzuje. Určují ji nejen změny tlaku vzduchu v daném místě, ale i výška zvuku.
Citlivost ucha je největší při frekvencích ? 700 Hz ? 6 kHZ.
Zvuky vnímáme od 16 Hz do 16 kHz.
práh slyšení – nejmenší intenzita zvuku, kterou jsme schopni při dané frekvenci vnímat. Pro 1 kHz je to I0 = 10- 12Wm-2.
práh bolesti ? intenzita zvuku dané frekvence při níž vzniká v uchu bolest. Pro frekvenci 1 kHz je to 1Wm-2. (120dB)

Intenzitu zvuku vyjadřujeme pomocí zvláštní logaritmické stupnice. Jednotkou je bell B, podle Alexandra Grahama Bella. B=10logI/I0.

Ultrazvuk a infrazvuk
ultrazvuk ?mechanické vlnění o frekvenci vyšší než 16 kHz. Nevnímáme ho sluchem. Význam v technické praxi. Zdrojem jsou elektronické generátory. Menší vlnová délka ? méně ovlivněn ohybem. Výrazný odraz od překážek, méně je pohlcován v kapalinách i pevných látkách.
Využití v lékařské diagnostice ? nahrazuje rentgenové záření. Sonda přiložena k tělu, vysílá ultrazvukový signál o vysoké frekvenci (řádově Mhz). Ten se odráží od orgánů zpět k sondě, je přeměněn na el. signál a zobrazen na monitoru počítače.
ultrazvuková defektoskopie ? zjišťování skrytých vad v materiálu.
Uplatnění při vypuzování plynů z kapalin, nebo roztavených kovů, skla apod. Vytváření suspenze, emulze, čištění součástek.
Uplatnění zvuku v živé přírodě – ultrazvuková píšťalka ? cvičení psa. Pohyb delfínů, netopýrů.
Infrazvuk ?mechanické vlnění o frekvenci nižší než 16 Hz. Dobře se šíří ve vodě ? lze předpovídat příchod vlnobití. Neslyšíme. Infrazvuk může být škodlivý, frekvence blízká frekvenci srdce.

Dopplerův jev
Při relativním pohybu zdroje zvuku nebo pozorovatele vnímá pozorovatel zvuku jiné frekvence, než je frekvence zdroje.
Dopplerův jev nastává obecně v každém případě, kdy se zdroj zvuku a jeho přijímač vzájemně přibližují. Mohou se pohybovat i po křivkách, nebo mimoběžkách.
př. Kolem nás projíždí policejní auto se zapnutou sirénou velkou rychlostí. V okamžiku, kdy nás míjí nastane náhlé snížení frekvence zvuku, který vydává siréna automobilu.
Vzniká i u elektromagnetického vlnění ? je na něm založeno měření rychlosti aut pomocí radaru.
V astronomii umožňuje měření rychlosti vesmírných objektů na základě změn vlnových délek záření, které tyto objekty vyzařují.