Kmitavý pohyb

Mechanické kmitání a vlnění ? patří k nejrozšířenějším jevům v přírodě. Veličiny, kterými je popisujeme se v čase mění a tyto změny jsou periodické.
Děj, při němž se kmitání šíří látkovým prostředím se nazývá mechanické vlnění. Existuje vlnění příčné a podelné.
Příčné vlnění – výchylky jsou vedeny kolmo na směr šíření vlnění. Opticky (při všech bodech v jedné řadě již rozkmitaných) to vypadá jako had, neboli kosinusoida.
Podélné vlnění ? výchylky jsou vedeny ve směru vlněné, vypadá to jako žížala
Kmitání mechanického oscilátoru
mechanický oscilátor ? může po vychýlení z rovnovážné polohy volně kmitat. Výchylka mechanického oscilátoru
se s časem periodicky mění podle funkce sinus. Grafickým znázorněním získáváme
časový diagram kmitavého pohybu.
Kmitavý pohyb, jehož časový diagram má podobu sinusoidy, popř. kosinusoidy nazýváme jednoduchý kmitavý pohyb nebo harmonický pohyb.

Kinematika harmonického pohybu ? rovnice postupné vlny
Srovnáváme kmitavý pohyb s pohybem rovnoměrným po kružnici.
Pro okamžitou výchylku y kmitajícího bodu platí:

y = ym sin wt

ym – amplituda výchylky – největší vychýlení hmotného bodu z rovnovážné polohy
wt – okamžitá fáze kmitání

Perioda frekvence a kmitání
veličina w – nazývá se úhlová frekvence, nebo úhlový kmitočet

w = = 2pf
její jednotkou je radián za sekundu(rad×s-1)
Perioda(doba kmitu) ? kmitající bod za tuto dobu vykoná jeden kmit
Frekvence(kmitočet) – počet kmitů, které vykoná kmitající bod za jednu sekundu

f =

Jednotkou frekvence je hertz(Hz) ? na počest německého fyzika H.R.Hertze

Jestliže zdroj kmitání kmitá s periodou T, popřípadě s frekvencí f, pak vlnění za dobu T dospěje do vzdálenosti l, kterou nazýváme vlnová délka
l = v*T = v/f

Počáteční fáze kmitání
V počátečním okamžiku není okamžitá výchylka nulová(y0 ą 0).
fáze kmitání j:

{ je to samé co j – [fí]}

Počáteční fáze kmitání ? počáteční úhel j0
Pro okamžitou výchylku hmotného bodu platí vztah
y = ym sin (wt + j0)
Počáteční fáze může mít kladnou i zápornou hodnotu.
Pokud budeme chtít spočítat kdy bude mít bod M (na trase vlnění) okamžitou výchylku jako zdroj kmitání o dobu t [tau] později použijeme rovnice:
y = ym sin (wt – t)
kdy t = x/v, kdy x je poloha bodu M.
w = 2p/T
l=vT
rovnice postupné vlny pro řadu bodů je:

kdy ym je amplituda výchylky, t je čas o který nám jde, T je perioda vlnění, x je bod o který nám jde a l je vlnová délka.
Hodnoty y pak vyneseme do grafu a tím bude krásná sinusoida.

Fázový rozdíl ? Jestliže dvě harmonické veličiny mají stejnou úhlovou frekvenci a počáteční fáze j01 a j02, platí pro fázový rozdíl Dj:

Dj = (wt + j02) ? (wt + j01) = j02 – j01

Fázový rozdíl dvou harmonických veličin o stejné frekvenci je určen rozdílem jejich počátečních fází.

zvláštní případy: fázový rozdíl 2kp rad, k = 0,1,2 ? stejná fáze
fázový rozdíl (2k + 1)p rad, k = 0,1,2 ? opačná fáze

Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu
pro rychlost kmitavého pohybu platí vztah:

v = w ym cos wt

kdy w je úhlová frekvence, ym je amplituda výchylky a t je čas pro který chceme rychlost vypoočítat.

V rovnovážné poloze je rychlost největší. V okamžiku, kdy kmitající bod dosáhne výchylky (y=ym) , je rychlost nulová.
Přesně jako když člověk vyhazuje předmět do výše a on se v nejvyšším bodě své trajektorie na chvíli zastaví.
Pro zrychlení platí vztah

a = – w2r sin wt

Zrychlení harmonického kmitavého pohybu je přímo úměrné okamžité výchylce a v každém okamžiku má opačný směr.

Složené kmitání
Princip superpozice:

Jestliže hmotný bod koná současně několik harmonických kmitavých pohybů téhož směru s okamžitými výchylkami y1, y2, ? , yk, je okamžitá výchylka y výsledného kmitání rovna součtu všech dílčích.

y = y1 + y2 + ?. + yk

Okamžité výchylky mohou mít kladnou i zápornou hodnotu.

Superpozicí vzniká složené kmitání. Jeho průběh závisí na směru složek, jejich počtu, amplitudě výchylky, počáteční fázi a frekvenci a může mít značně složitý průběh.
Nejjednodušší ? superpozice dvou harmonických kmitání o stejné amplitudě výchylky (ym1 = ym2 = ym), které probíhají v jedné přímce se stejnou úhlovou frekvencí. Jejich okamžité výchylky vyjadřují rovnice.

y1 = ym sin (wt + j01)
y2 = ym sin (wt + j02)

Časový diagram složeného kmitání (y = y1 + y2) získáme grafickým postupem. Sečteme, popřípadě odečteme délky úseček odpovídající okamžitým výchylkám v jednotlivých okamžicích s přihlédnutím ke znaménku výchylky. Křivka proložená koncovými body součtů úseček určuje časový průběh složeného kmitání.

Skládáním dvou harmonických kmitání o stejné frekvenci vzniká opět harmonické kmitání téže frekvence. jeho amplituda výchylky závisí na fázovém rozdílu složek.

Jestliže fázový rozdíl Dj = 0 (stejná počáteční fáze obou složek) je amplituda výchylky složeného kmitání největší a má hodnotu:
ym = ym1 + ym2
Složené kmitání má stejnou počáteční fázi jako jeho složky.

Jestliže fázový rozdíl Dj = p rad, je amplituda výchylky složeného kmitání nejmenší a má hodnotu
ym = | ym1 – ym2 |

Složené kmitání má stejnou počáteční fázi jako složka s větší amplitudou výchylky. V případě, že ym1 = ym2, je výchylka stále nulová a kmitání zaniká.

Superpozicí kmitání různé úhlové frekvence (w1 ą w2) vzniká složené kmitání, které není harmonické.

Zvláštní případ nastává, když se úhlové frekvence složek jen velmi málo liší ((w1 ? w2). Amplituda výchylky výsledného kmitání se periodicky zvětšuje a zmenšuje. vzniká složené kmitání, které nazýváme rázy.

Dynamika harmonického kmitání
Zkoumá příčiny pohybu.
Příčinou kmitání mechanického oscilátoru je buď síla pružnosti, nebo tíhová síla.
Pohybová rovnice harmonického kmitavého pohybu(velikost síly, která způsobuje harmonické kmitání):

F = -mw2y

U každého konkrétního mechanického oscilátoru je třeba určit souvislost úhlové frekvence kmitání oscilátoru s jeho parametry.
Základní model je pružinový oscilátor (těleso zavěšené na pružině). Jeho parametry jsou hmotnost m tělesa a tuhost k pružiny.
Nezatížená pružina ? délka l0. Zavěsíme ? li těleso o hmotnosti m, prodlouží se působením tíhové síly FG na délku l = l0 + Dl. Po ustálení v rovnovážné poloze na těleso působí síla pružnosti Fp o velikosti Fp = kDl. Tato síla má stejnou velikost, ale opačný směr než tíhová síla FG = mg. Platí kDl = mg.

Rozkmitáním se síla pružnosti mění, zatímco tíhová síla zůstává stálá.

F = Fp + FG = k(Dl ? y) ? mg = kDl ? ky ? mg = -ky

Vlastní kmitání oscilátoru vzniká působením této síly

Na těleso mechanického oscilátoru působí proměnlivá síla o souřadnici

F = -ky,

která směřuje do rovnovážné polohy a je příčinou kmitavého pohybu oscilátoru.

Vlastní kmitání mech. oscilátoru probíhá s úhlovou frekvencí w0, která závisí na parametrech oscilátoru (na m tělesa a k pružiny.)

w0 =
Pro periodu T0 a frekvenci f0 vlastního kmitání dostaneme:

T0 = 2p , f0 =

Kyvadlo
Kyvadlo ? těleso zavěšené nad těžištěm, které se může volně otáčet kolem vodorovné osy procházející bodem závěsu kolmo k rovině kmitání.
Nejjednodušší kyvadlo ? malé těleso (hmotný bod) zavěšené na pevném vlákně zanedbatelné hmotnosti, jehož délka je l.
Harmonické kmitání ? zavedeno jako přímočarý pohyb, aby to bylo splněno i u kyvadla, musí být výchylka tak malá, že oblouk, po kterém se těleso pohybuje, můžeme s dostatečnou přesností považovat za úsečku. To je splněno, jestliže úhel a(který svírá vlákno při pohybu se svislým směrem), nepřekročí 5°. Nó, to sou takový teorie ty vole.
Příčinou pohybu je pohybová složka F tíhové síly FG. Ta vzniká při vychýlení kyvadla s rovnovážné polohy.
Platí sin a = F/FG = y´/l = y/l.
Platí
T0 = 2p , f0 =
V historii sehrálo kyvadlo významnou úlohu při měření času. Konstrukcí mechanismu kyvadlových hodin proslul holandský fyzik Ch. Huygens.

Přeměny energie v mechanickém oscilátoru
Pro kmitání je charakteristická periodická přeměna energií.
Rovnovážná poloha ? největší rychlost => největší kinetická energie
Největší výchylka – nulová rychlost => největší potenciální energie (u tělesa pověšeného na pružině –
potenciální energie pružnosti, kyvadlo ? potenciální energie polohy)
Těleso na pružině v rovnovážné poloze ? klidová potenciální energie se skládá s pot. energie tíhové Ept tělesa, ve
výšce h a z pot. en. pružnosti Epr deformované pružiny.
potenciální energie pružnosti – rovna práci spotřebované pružinou při prodloužení o délku Dl,
Epr = =
Ept = mgh, klidová energie oscilátoru je:

E0 = mgh +
Když mechanický oscilátor uvedeme do pohybu => zvětší se jeho celková energie(Ecelk) o energii kmitání. Při určité okamžité výchylce y má oscilátor okamžitou rychlost v a platí:

Ecelk = mg(h + y) + +

Ecelk = mgh + + + = E0 + Ekm
Ekm ? energie kmitání ? má dvě složky ? energii kinetickou Ek= a energii potenciální Ep = .
Dosadíme okamžité hodnoty y a v, dostaneme pro kmitání s nulovou počáteční fází vztah

Ekm = ky2msin2wt + mvm2 cos2wt = ky2m = mvm2 = konst.
Tento vztah platí obecně pro všechny typy mechanických oscilátorů.
Výraz ky2m vyjadřuje maximální hodnotu pot. energie při dosažení max. výchylky
Výraz mvm2 vyjadřuje maximální kinetickou energii při průchodu rovnovážným stavem.

Při harmonickém kmitavém pohybu se periodicky mění potenciální energie kmitání v energii kinetickou a naopak. Celková energie oscilátoru je konstantní a je rovna součtu klidové energie oscilátoru a energie kmitání dodané oscilátoru při uvedení do kmitavého pohybu. Energie kmitání je přímo úměrná druhé mocnině amplitudy výchylky a druhé mocnině úhlové frekvence vlastního kmitání.

Tlumené kmitání – amplituda výchylky reálného oscilátoru se vždy postupně zmenšuje, až kmitání zanikne. Příčinou jsou přeměny mechanické energie v jiné formy energie (např. na vnitřní energii okolního prostředí nebo samotného oscilátoru).

Netlumené harmonické kmitání je jen určitou abstrakcí. Pouze při neustálém dodávání energie může být kmitání netlumené-nucené. Vlastní kmitání oscilátoru je vždy tlumené.

Nucené kmitání mechanického oscilátoru
Vlastní kmitání mech. oscilátoru je tlumené. Aby bylo netlumené je potřeba dodávat z vnějšku energii .
Tento případ nastane, jestliže, jestliže na oscilátor působí nepřetržitě harmonicky proměnná síla, pro kterou platí F = Fm sinwt. Vzniká netlumené harmonické kmitání, které označujeme jako nucené kmitání oscilátoru.

Nucené kmitání vzniká působením na oscilátory i na objekty, které vlastnosti oscilátoru nemají. Frekvence nuceného kmitání závisí na frekvenci působící síly a nezávisí na vlastnostech kmitajícího objektu. Nucené kmitání je netlumené.

Rezonance oscilátoru
Na mechanický oscilátor působí vnější harmonická síla a oscilátor nuceně kmitá. Když budeme frekvenci w nuceného kmitání postupně zvětšovat od určité minimální hodnoty, bude se amplituda výchylky zvětšovat a maxima dosáhne u málo tlumeného oscilátoru v okamžiku, kdy w = w0. Jakmile se frekvence nuceného kmitání rovná frekvenci vlastního kmitání oscilátoru, nastává rezonance oscilátoru. Při dalším zvyšování frekvence se amplituda nucených kmitů opět zmenšuje.
Rezonanční křivka ? vyjadřuje závislost amplitudy výchylky nuceného kmitání jako funkcí úhlové frekvence(ym=f(w)).

Čím menší je tlumení oscilátoru, tím je maximum rezonanční křivky vyšší a křivka je užší.
Při větším tlumení je maximum rezonanční křivky nižší a křivka je širší.
Využití v praxi ? rezonanční zesílení.

Význam rezonance spočívá v tom, že umožňuje rezonanční zesílení kmitů. Malou, periodicky působící silou lze v oscilátoru vzbudit kmitání o značné amplitudě výchylky, pokud je perioda vnějšího působení shodná s periodou vlastního kmitání oscilátoru.

Rezonanci můžeme považovat za vzájemné působení dvou oscilátorů. Jeden je zdrojem nuceného kmitání (oscilátor) a druhý se působením zdroje nuceně rozkmitá (rezonátor).
Jednoduchým příkladem soustavy oscilátoru a rezonátoru jsou spřažená kyvadla.
Jestliže oscilátor O rozkmitáme, pozorujeme, že jeho amplituda výchylky se postupně zmenšuje a rezonátor R naopak začíná kmitat. Jeho amplituda výchylky dosahuje maxima v okamžiku, kdy kmitání oscilátoru ustalo. Tento děj se periodicky opakuje a kmitání má podobu rázů.

Spřažená kyvadla ? příklad výměny energie mezi oscilátorem a rezonátorem působením vzájemné vazby.
Vazba volná ? vazbou vzniká jen malé vzájemné působení, energie z oscilátoru do rezonátoru přechází déle
Vazba těsná – Vzájemné působení je silné, energie přejde do rezonátoru v krátké době.

Příklad využití rezonančního zesilování ? hudební nástroje (chvění strun se přenáší na tělo houslí)
Někdy je ale nežádoucí ? stroje, jejichž části se otáčejí. Mechanismy, které obsahují pružné prvky (pérování u auta ? tlumiče)
V technické praxi se k potlačení rezonančních kmitů používají v podstatě tři způsoby:
1. změna vlastní frekvence mechanismu
2. doplnění mechanizmu tlumičem kmitání
3. zvětšení tření mechanismu